سرخط خبرها

آیا در فلسفه کل بزرگتر از جزء خود است؟

پرسش:

یک قضیه بدیهی وجود دارد در منطق ارسطویی به ان نحو که جز از کل خود کوچکتر است ولی در نظریه مجموعه ها کانتور یک قضیه دارد و نشان می دهد که در مجموعه های بی نهایت جز از کلش کوچکتر نیست مثلا مجموعه اعداد زوج طبیعی که زیر مجموعه کل اعداد طبیعی است را می شمارد یعنی می تواند آن را پوشش دهد یعنی جز از کل آن کوچکتر نیست.
حال دو سول
ایا توجیهی برای این قضیه دارید؟
آیا همه ریاضیات یقینی است و استدلال آن عقلی است یا برخی امور قرار دادی(یعنی اموری که با یک سری اصول موضوعه اثبات نشده شروع به ساختن ساختمان ریاضی جدید می کند)در آن وجود دارد؟

پاسخ:
۱ـ تعریف مجموعه ی اعداد طبیعی چنین است: مجموعه ای از اعداد ـ زوج و فرد ـ که اوّلین عضو آن یک می باشد، و هر عضو بعدی، یک واحد از عضو قبلی بزرگتر است.
تعریف اعداد طبیعی زوج چنین است: زیر مجموعه ای از مجموعه اعداد طبیعی که اوّلین عضو آن ۲ می باشد و هر عضوی از عضو قبلی، دو واحد بزرگتر است.
طبق این تعاریف، شکّی نیست که تعداد اعضای مجموعه اعداد طبیعی، همواره دو برابر تعداد اعضای مجموعه اعداد طبیعی زوج خواهد بود؛ اگر چه تعداد اعضای هر دو مجموعه، بی نهایت باشد.
امّا برخی ها اعداد طبیعی زوج را چنین تعریف می کنند: مجموعه ای از اعداد که از ضرب عدد ۲ در اعداد طبیعی به دست می آیند.
این تعریف، اگر چه ظاهراً درست می باشد، امّا منطقاً غلط است. چون اوّلاً اعداد زوج، خودشان جزئی از اعداد طبیعی اند. ثانیاً عدد ۲ خودش هم جزئی از اعداد زوج است. پس اعداد زوج، از ضرب عدد ۲ در اعداد طبیعی و از جمله از ضرب در خود اعداد طبیعی زوج به دست نمی آیند. معنی ندارد که ما اعداد زوج را از ضرب عدد در خود اعداد زوج به همراه ضرب در اعداد فرد به دست آوریم.
کانتور با همین تعریف دوم (تعریف غیر منطقی) است که دست به چنان مغالطه ای زده است.
طبق تعریف نخست، تعداد اعضای مجموعه اعداد طبیعی زوج، نصف تعداد اعضای مجموعه اعداد طبیعی خواهد بود؛ یعنی اگر تعداد اعضای مجموعه اعداد طبیعی را x بنامیم و تعداد اعضای مجموعه اعداد طبیعی زوج را y بنامیم، x بر y در حالی که x و y به بی نهایت میل می کنند، برابر خواهد بود با عدد ۲٫
امّا طبق تعریف دوم (تعریف غیر منطقی)، x بر y وقتی که هر دو به بی نهایت میل می کنند، برابر خواهد بود با عدد یک.
پس ریشه ی مغالطه ی کانتور بر می گردد به تعریف او از عدد زوج. او عدد طبیعی زوج را ۲k تعریف کرده و k را عضو اعداد طبیعی شمرده است؛ حال آنکه این تعریف، منطقاً غلط است. چون خود k گاه اعداد طبیعی زوج هستند.
پس دو مجموعه به نام «مجموعه ی اعداد زوج» وجود دارند؛ یکی مجموعه اعداد زوجی که زیر مجموعه ی اعداد طبیعی اند، و دومی مجموعه اعداد زوجی که از ضرب عدد ۲ در تک تک اعداد طبیعی حاصل می شوند. روشن است که مجموعه اعداد طبیعی زوج دوم، دو برابر مجموعه اعداد زوج نخست، عضو خواهد داشت. و باز روشن است که مجموعه اعداد زوج دوم زیر مجموعه ی اعداد طبیعی نیست، تا جزء آن قلمداد شود بلکه این مجموعه، در واقع مجموعه اعضای اعداد طبیعی ضرب شده در عدد ۲ است.

۲ـ ادّعای کانتور، خودش را خفه می کند.
فرض کنیم که جزء، از کلّ خود کوچکتر نباشد. در این صورت، اجتماع نقیضین جایز خواهد شد. و اگر اجتماع نقیضین جایز شد، هر استدلالی بی معنی خواهد شد. چون اساس تمام استدلالها استحاله ی تناقض است. و اگر استدلال بی معنی شد، تمام استدلالهای کانتور نیز ارزش خود را از دست خواهند داد. پس فرضیّه ی کانتور، خودش خودش را حلق آویز می کند؛ یعنی از فرض درستی فرضیّه ی کانتور، نادرستی فرضیّه ی او لازم می آید.

۳ـ همه ی مسائل ریاضیات یقینی نیستند؛ برای مثال، هندسه ی اقلیدسی درست است یا هندسه های نا اقلیدسی؟ تفاوت اینها در یکی از اصول موضوعه های هندسه ی اقلیدسی است.
در خود همین مطلبی هم که گفتیم متوجّه شدید که چه مغالطه های ظریفی در وادی ریاضیات ممکن است رخ دهد، آن هم در تعاریف بنیادی.

Print Friendly, PDF & Email
No votes yet.
Please wait...

5
دیدگاه ها

[…] آیا در فلسفه کل بزرگتر از جزء خود است؟ […]

محمد

ادعای شما اساسا باطل است زیرا کانتور اثبات کرده که تعداد اعضای مجموعه اعداد طبیعی زوج و طبیعی فرد و طبیعی و صحیح و حتی اعداد گویا برابر الف-صفر می باشد .. یعنی برابرند.
ثانیا تعریف اعداد زوج در ریاضیات به هر دو صورت قابل قبول است ولی نکته این است که از تعریف اول نمیتوان تعداد را نتیجه گرفت ولی از تعریف دوم با استفاده از تناظر یک به یک برابری اعضای دو مجموعه اثبات میشود.

/////و اما موضوع بسیار مهم این که از عالمان دینی تقاضا می شود در مسائل مربوط به تخصص خودشان دخالت کنند و وارد وادی ریاضیات نشوند/////